闲读九章算术

影响世界的数学著作

英国人李约瑟盛赞《九章算术》“可能是所有中国数学著作中影响最大的一部”,足见其地位。这是一部对世界数学及科学的发展影响深远的书,与欧几里得的《几何原本》东西辉映。

此书何时成书,出自何人之手,众说纷纭。一种较为认可的说法是,它涉及如此多的社会问题,不是一时一人完成的作品,由秦收集起来的数学题简,经张苍、桑弘羊和许商等秦汉时的学者不断补充、整理,经两百多年,逐渐成为比较完善的官书,到王莽统治时定型,由当时的著名学者刘歆进一步整理、分类,才形成我们今天见到的定本。为其作注的,最有名的当属刘徽。

全书将246个问题分为9章:方田(面积及分数)、粟米(比例)、衰分(配分比例)、少广(开方)、商功(体积)、均输(复杂的配分比例)、盈不足(盈亏)、方程(线性方程组)、勾股(勾股定理)。依我看,此书放在现代,书名可能会被取作《初等数学246问》、《中小学生数学全解》、《课后246题》,或者《有效的解题方法》等等。

论数学上的成就及影响,此书开创了几个“第一”:它最早提出了负数的概念,比印度早700年,比欧洲则早了1700年;它提出的“盈不足术”,在13世纪由阿拉伯人传至欧洲,被欧洲人称为“中国算法”;它还最早系统地提出了分数约分、通分和四则运算法则,最早提出了“线性方程组”的概念及算法;有开平方、开立方法则的世界最早记录。世界数学分为两大体系,一是欧几里得在《几何原本》中所创立的逻辑演绎体系,一是《九章算术》所创立的机械化算法体系。严敦杰曾说,“若把‘原本’比‘算术’,此中翘楚是《九章算术》”。

《九章算术》当中的许多算法,都对后世的基础教学产生了深远的影响,甚至被原封不动地沿用。比如更相减损法,与辗转相除法类似,至今仍被用于求两个数的最大公约数。再比如,求环形面积时,把环形断开拉伸近似为等腰梯形,这也体现了常用的“化曲为直”的思想。又如,“方程”一卷中的“直除”方法,体现了“消元”思想。还有,书中涉及等差数列、等比数列的内容,让人看了顿生亲切感。

汉代社会经济的见证

数学成就,仅仅是《九章算术》的一小部分。从某种意义上讲,它算得上一部断代史。

两汉至今年代久远,不少文献典籍都在历代的战火中遗落散失了。更坏的是,中国历代君王有烧书的习惯。每当城头变换大王旗,有四件事情少不了:杀你的君王,占你的庙堂,嫖你的嫔妃,烧你的书房。不过,再怎么残暴也会对科技书籍珍爱有加。《九章算术》完好保存至今,算是万幸。一本数学书,肩负着记录汉代社会经济状况的使命。

宋杰先生在《〈九章算术〉与汉代社会经济》一书中,将其反映的汉代社会经济状况,归纳为三个方面:

第一是汉代的社会生产力状况。书中记载了各种手工业劳动的工作流程、每日工作量、官府土木工程的劳动分工以及生产定额。比如《均输》章第25题,“今有程耕,一人一日发七亩,一人一日耕三亩,一人一日耰种五亩。今令一人一日自发、耕、耰种之,问治田几何?”种田先干什么,后干什么,每一个步骤要多少劳动量,说得清清楚楚。看来“应用题”在汉代就已经成为一种考察实践能力的题型了。

第二是汉代社会的经济基础。《方田》、《衰分》、《均输》等章提到了测量计算土地面积和征收田租,课取关税、假税、户赋的各种制度,以及郡县分派徭役的方法,表现了封建国家与编户农民间的剥削关系以及封建等级制度。比如《衰分》章第1题:“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士凡五人,共猎得五鹿。欲以爵次分之,问各得几何?”

第三是汉代的商业交通状况。在许多章节当中,保留了大量货币经济和商品价格的记载,还有实物交易中的各种谷物、粮食加工制品的兑换比例,以及车辆的运载能力,人、车、马每日的行进距离等。如《衰分》章第20题:“今有贷人千钱,月息三十。今有贷人七百五十钱,九日归之,问息几何?”

两汉史籍中涉及到关税的记载很少,于是有人认为汉代没有关税。比如李剑农先生在《先秦两汉经济史稿》中说:“其最令商人感觉自由者,即出去区域间交通之阻碍;盖终汉之世,未尝有设关征税之事”。但书中有四道政府向行旅征收关税的计算题。如《均输》章第27题:“今有人持米出三关,外关三而取一,中关五而取一,内关七而取一,余米五斗。问本持米几何?” 不仅收税,而且稍加计算可知收的还不少, 将近11斗米被搜刮后只剩5斗。

当然,有些数据是出题者编出来的,但经考证,其中多数数据还是可以得到证实,基本可以作为研究汉代经济的参考。何况,一个人再怎么编,也不会编得太离谱吧,一定会与自己所见的有关系。所以,《九章算术》还算是一部比较真实的史书。

古人也团购

最近,大家忙着“团购”。因为极大降低了单个买家的交易成本,并且紧密靠拢电子商务,团购成为一种时尚。先是前几年招行打出了“聚便宜”的口号,而后美团网横空出世,引来众多网站争相效仿。

《九章算术》里也有关于团购的记载。如上面提到的“共买琎”的题目。当然,现代也有“共买”的现象,即多人集资购买某物。我为何将汉代的“共买”与现在的团购比较呢?关键在于当时共买的东西。细数一下,《九章算术》中涉及“共买”的问题公有八道。所买物品有牛、羊、犬、鸡、豕、金、琎。主要是食品和首饰两类,属物质生活用品。这些物品,不会归集体共有,买了之后肯定会大卸八块各得其所。在这个意义上,和团购“各买各”的特点是一样的。现在“团”的那些物件,也不过是些餐券玩具和首饰,唯一的变化在于增加了精神生活消费,比如健身。汉代的共买,主要有以下几种形式:民间团体集资购买,无组织的合购、小私有者的合伙经商、家族购置。为何共买呢?恐怕和现在团购的原因一样,自己买太贵。

寓言,或是童话

《九章算术》还是一本寓言故事书。

且看这段:

“今有兔先走一百步,犬追之二百五十步,不及三十步而止。问犬不止,复行几何步及之。”(《均输》章第14题)

我一直觉得,书中每一句话,都是时代背景与自身处境的反映。犬可及兔,何故半途而止?狡兔死,走狗烹!小狗虑及自身的安危,放过了兔子,毕竟同病相怜。

还有个有意思的段子:

“今有垣厚五尺,两鼠对穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。问几何日相逢。各穿几何。”(《盈不足》章第12题)

这是怎么一回事呢?两只老鼠,被分置于一堵墙的两端。两鼠思念,奋力穿墙,不顾一切代价也要见到对方。大鼠神满力足,越穿越快;小鼠有些虚弱,越来越慢。终于冲破艰难险阻他们在一起了。这是个爱情剧,还是个亲情剧呢?稍加想像,便是一个感人至深的故事。迪斯尼动画片的创意,也不过如此。

书不厚,文言基本是初中的水平,算术基本是小学的水平,闲来无事还会翻翻。这本书,在带给我作为一个中国人的荣耀的同时,还带来了别的许许多多。

我把书中的题目,抄给念初中的弟弟妹妹,锻炼他们的数学以及古文基础。我把书中举一反三的思想,应用到我自己的学习当中。

 

九章,不仅仅是算术。

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